اختبار الرخصة المهنية الرياضيات (A)

احتمال (سحب كرة حمراء) = عدد الكرات الحمراء ÷ عدد الكرات الكلي = (⁶⁰⁄₁₅₀ = ⅖).

نلاحظ من الرسم أن الإجابة الصحيحة من بين الخيارات هي (د) فقط، درجات كيان في نزول مستمر.

(دينيز) يعتمد على الحفظ.

عدد العمال الكلي = (3 + 15 + 2 = 20)، مجموع أجرة العاملين = مجموع عدد العمال لكل أجرة =(900 + 1500 + 160 = 300 × 3 + 100 × 15 + 80 × 2 = 2560).

المتوسط الحسابي لأجرة العامل = مجموع أجرة العاملين / عددهم = ²⁵⁶⁰⁄₂₀ =(128) .

التقدير والحساب الذهني يعد تفكير حسي عددي.

(3x – 7 = 11)   ←   (3x = 18)   ←   (X = 6).

(3a = 9)   ←   (a = 3) إذن نستبعد من الخيارات (ب و د)، (b + 2 = 6)   ←   (b = 4).

برونر: هو مؤسس نظرية التعلم بالاكتشاف.

1️⃣ (y – 3x = 6) نرتب معادلة المستقيم الأول لتصبح (y = 3x + 6).       3y + x = 5) 2️⃣+) نرتب معادلة المستقيم الثاني لتصبح (5 +× ⅓- = y).

3️⃣ (⅓ -× 3 = -1) نلاحظ ان حاصل ضرب الميلين (1-) اذا هما متعامدان.

الدالة الزوجية: تكون متماثلة حول محور الصادات يعني لازم محور الصادات يقسم الدالة إلى شكلين متماثلين إذن نستبعد أو خيار لأن الشكلين غير متماثلين حول محور الصادات، الإجابة (ج و د) الإجابة خاطئتان أيضا لأن الدالة متماثلة حول نقطة الأصل فتكونان دالة فردية، بينما الإجابة الصحيحة هي: (ب).

المعاكس الإيجابي ببساطة نقوم بتبديل العبارة ونفيها، العبارة الشرطية: تبدأ ب إذا كان ثم إن، ما يأتي بعد إذا كان يسمى فرض، وما بعد فإن يسمى نتيجة، نقوم بتبديل الفرض مع النتيجة، مع نفي العبارة، إذا لم يكن غني فإنه ليس تاجر.

الصفحات التي تقبل القسمة على (2) هي: (2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ،18 ، 20 ، 22). الصفحات التي تقبل القسمة على (2) ولا تقبل القسمة على (3) هي: (2 ، 4 ، 8 ، 10 ، 14 ، 16 ، 20 ، 22).
إذن عدد الصور (2 × 8 = 16) صورة، الصفحات التي تقبل القسمة على (3) هي: (3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 21). الصفحات التي تقبل القسمة على (3) ولا تقبل القسمة على (2) هي : (3 ، 9 ، 15 ، 21).
إذن عدد الصور = (3 × 4 = 12) صورة، إذن عدد الصور التي وضعها في الملف = (12 + 16 = 28) صورة.

مجال الدالة الكسرية هو: {عدا أصفار المقام} - R إذن في مقام الدالة (x + 1) نساويها بصفر لإيجاد صفر المقام فيكون (1-) مجال الدالة الكسرية هو: {1-} - R.

نلاحظ من المقدار الأول (bax) أن (ax) موجودة أيضًا في المقدار الثالث (axz) ولكنه لا يساوي صفر إذا (b = 0) , (x ≠ 0) , (a ≠ 0).

مجموع الزوايا الخارجية = (360)، قياس الزاوية الخارجية الواحدة = (360 ÷ عدد أضلاع الشكل المنتظم) = 360 ÷ 5 = 72.

بما أن المثلثين متشابهين إذا قياس الزوايا المجهولة يكون كالتالي 180 - (60 + 40) = 80 وهي الزاوية المقابلة ل (X) إذن تساويها.

مشتقة ضرب دالتين = الأول × مشتقة الثاني + الثاني × مشتقة الأول 2xcos(2x) + sin(2x).

قانون المسافة بين نقطتين.

مجموع النسب = (4 +1 = 5)، مجموع الزاويتان المتتامتان يكون (90) إذا لإيجاد نسبة الزاوية المتتامة الواحدة نقسمها على مجموع النسب = نسبة الزاوية الواحدة 18 = ⁹⁰⁄₅،  قياس الزاوية الصغرى = 18.

يكون العدد نسبيا إذا كان كل من البسط والمقام أعداد صحيحة وإذا كان المقام لا يساوي صفر (2x - 4 = 0  →  x = 2).

أفترض (9) قيم مختلفة مثلا (1) و (2) و (3) و (4) و (5) و (6) و (7) و (8) و (9) وأقوم بترتيبهم تصاعديا أو تنازليا، الوسيط: يمثل القيمة الوسطية، لو قمت بإلغاء القيمتين كما في السؤال فإن الوسيط: هو الوحيد الذي لن تتغير قيمته عند ذلك.

(1 / 2 × 2) = (¼) نلاحظ أن الربع: هو نصف النصف.

نسبة عدم الهطول: (%100 - %75 = %25).

1️⃣ الانعكاس الذي نبدل فيه الأماكن: هو الانعكاس حول المستقيم (x = y).     2️⃣ الانعكاس الذي نبدل فيه الإشارات: هو انعكاس حول محور (x).

3️⃣ الانعكاس الذي نغير فيه إشارة (x): هو انعكاس حول محور (y).

العدد هو أساس اللوغاريتم الطبيعي = (2.7) وهو عدد غير منتهي إذا فهو عدد غير نسبي.

مجموع زاويتين متجاورتين على نفس الخط المستقيم = (180)، مجموع ثلاث زوايا متجاورات على نفس الخط المستقيم = (180).
(180) = (110 + x + x)   ←   (180) = (110 + 2x)   ←   (180 - 110) = (2x)، إذن من الشكل (x = 35) وبما أن المستقيمان متوازيان (x = a) بالتبادل (x = 35°).

حاصل (ab) يعني معناها يوجد عدد أصغر من الثاني، (a < b) ضربهم = (105) الآن أنظر (105) عبارة عن حاصل ضرب كم في كم بحث يكون الفرق بينهم أصغر ما يمكن: (105) = (7) (5) (3).
(1 × 105 = 105) الفرق بينهم (105 – 1 = 104)   ←   (21 × 5 = 105) الفرق بينهم (21 – 5 = 16)   ←   (7 × 3 × 5 = 7 × 15 = 105) الفرق بينهما (15 – 7 = 8).

من ثلاثية فيثاغورس (5 ، 4 ، 3) إذا يكون طول الضلعين على التوالي هو (3 ، 4)، مساحة المستطيل = الطول * العرض = 3 × 4 = 12.

(X + 1) (X - 1) = (X² - 1) فرق بين مربعين، (X - 1) (X - 1) = (X - 1)² القوس مكرر مرتين البسط: عبارة عن فرق بين مربعين تحليله (XY + 1) × (XY - 1).

المقام: عبارة عن قوس مكرر، تحليله (XY - 1) (XY - 1) إذن تحليل الكسر يكون (XY + 1) × (XY - 1) / (XY - 1) × (XY - 1)، نختصر (XY - 1) من البسط والمقام فيكون الجواب (XY - 1 / XY + 1).

في الجلوس بشكل دائري إذا كان مع مرجع، عندما يذكر في السؤال شرط معين مثلا بحيث أن محمد جنب الباب، يعني شخص ثابت في مكانه: !(n) في الجلوس بشكل دائري إذا كان بدون مرجع: !(n-1) في السؤال الجلوس بدون مرجع لأنه لم يذكر شرط معين !(7 – 1 ) = !6 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

عدد المربعات في الأشكال تمثل متتالية حسابية: (1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 , 33 , 37 , 41) نلاحظ أن أول خمس أعداد بدأت تتكرر يعني الشكل (15) آحاده هو (7) يعني سيكون عدد مربعاته (57).

سعر السلعة بقيمة 100 ريال  ←  التخفيض بنسبة 10% = 10 ريال   ←   السلعة الجديدة سعرها  100 ريال - 10 ريال = 90 ريال.
سعر السلعة بعد التخفيض بنسبة %20: (%10 من 90 ريال = 9 ريال)   ←   (%20 من 90 ريال = 18 ريال)   ←   (سعر السلعة الجديد 90 ريال - 18 ريال = 72 ريال).

مساحة المستطيل = الطول × العرض   ←   (3 - x) × (الطول) = (15 - × - ²×2)   ←   (3 - x) × (2x + 5).

إذًا الإجابة الصحيحة (2X + 5)

قيمة (x) التي تجعل ما بداخل القيمة المطلقة = 0 تكون الدالة عندها متصلة وغير قابلة للاشتقاق، معطى أن (x = 1) لو عوضنا بها في ما بداخل القيمة المطلقة تعطينا (X – 1 = 1 – 1 = 0).

يقال لمستقيمين أنهما متوازيان إذا كان لهما الميل نفسه، في السؤال نركز على الميل، وهو يساوي معامل، (1 = x) نقارن مع الخيارات أيهم يمتلك الميل نفسه؟ نلاحظ أن الميل = 1 عند الإجابة (أ) و الإجابة (ب)، ثم نقوم بالتعويض عن النقطة (3- , 2) فيهما (y = x - 5   →   2 - 5 = -3) المعادلة (أ) تحقق الحل.

الأسهل هو أن أفحص الأعداد التي تقبل القسمة على 4 وأستبعدها
80 ، 84 يقبلان القسمة على 4 أستبعدهما تبقى لدي 383 و 385.
قابلية القسمة على :7 نأخذ الآحاد ونضاعفه، فنطرحه من باقي العدد منه 385 : ضعف ال5 =                                  10 ، 28 = 10 – 38 وهي تقبل القسمة على 7.

الأولوية: في العمليات الحسابية للأقواس ثم عملية الضرب أو القسم ثم عملية الطرح أو الجمع (8.4 - 2.4) ÷ 3 = (6 ÷ 3) = 2. 

جا الزاوية = (المقابل / الوتر) من فيثاغورس أحسب المقابل لأنه مجهول (²(3) √ - ²(1) √) = (8 √) = (2 √2) =SIN 𝜃 = (2 / 3 √ 2).

الترتيب الدائري: هو الذي له نقطة مرجعية، كذلك عندما طلب المعلم من أخوه أن يكون خلفه يعتبر كنقطة مرجعية فيتبقى (45) طالب إذا الجواب (! 45).

في المتجهين المتعامدين فإن حاصل ضربهما = 0 (مجموع ضرب الاحداثيات) (0 = (1) 2 + 4k + 2 (4))، (4k = -10)   ←   (⁵⁄₂ = -¹⁰⁄₄ = k-).

لحل المعادلة التربيعية أجعل المجهول لوحده (𝑥² = -8)   ←   (𝑥² = -8√)   ←   (𝑥 = ± 𝑖 √8)، عدد الجذور (الحلول) التخيلية هو (2). 

كلمة نسبة معناها أن نقسم الجزء على الكل نسبة الشجر المثمر = ⁴²⁰⁄₅₆₀   ←   ⁴²⁄₅₆   ←   ⁶⁄₈   ←   ¾   ←   %75.

قياس الزاوية المجاورة للخارجية (180 – 150 = 30)، قياس الزاوية (B)   ←   (180 – (80 + 30) = 70)، قياس الزاويتين المنصفتين من (B) يكون (35)، قياس الزاوية المجهولة (180 – (30 + 35 ) = 115).

انحراف درجات الاختبار الأول = (3) معنى أن انحراف درجات الاختبار الثاني ضعف الأول (6 = 3 × 2) إذا يكون التباين للاختبار الثاني هو مربع الانحراف له = (6 × 6 = 36).

نلاحظ من الأشكال أن الارتباط عكسي أو سالب ضعيف، بما أن العكسي (السالب) التام = (-1) إذا القيمة الأخرى السالبة الضعيفة هي (-0.25).

لإيجاد الإزاحة للدالة فيجب علي معرفة الدالة الأم لها، الدالة الأم للدالة: (1 / x + 4) = (𝒇x) هي دالة المقلوب (1 / x) = (𝒇x) نلاحظ أن الزيادة على الدالة الأم هي (4) وحتى أميز لو كانت الإزاحة بقيمة (4) لليمين أو اليسار أو الأعلى أو الأسفل يجب أن ألاحظ إذا كان الرقم داخل الدالة بجانب (x) مباشرة فإن الإزاحة تكون أفقية إما لليمين أو اليسار، إذا كان الرقم بالموجب فإن الحركة لليسار، بالسالب لليمين.
إذا كان العدد خارج الدالة معناها الإزاحة رأسية وهي إما للأعلى أو للأسفل، من السؤال الرقم موجود داخل الدالة وقيمته موجبة إذا الإزاحة أفقية لليسار بقيمة (4) وحدات.

نأخذ ما تحت الجذر ونجعله متباينة أكبر من أو يساوي صفر، لأنه الجذر لا يمكن أن يكون سالب (2x - 6 ≥ 0) نجعل (x) لوحدها لأنها هي المجال (2x ≥ 6)  ←  (x ≥ 3) نحول المجال لفترة فيصبح (∞ , 3].

نلاحظ من سياق السؤال أن العدد يزداد بمقدار ثابت إذن هذه متتابعة الحسابية ، اليوم الأول هو الحد الأول، عدد أيام المهرجان هو عدد حدود المتتابعة، مجموع الزائرين نستخدم فيه قانون المجموع للمتابعة الحسابية: (𝑆𝑛 = 𝑛 / 2 (2 𝑎₁ + (𝑛 - 1) 𝑑))   ←   (490000 = 10 / 2 (2 × 40000 + (10 - 1) 𝑑))   ←   (490000 = 5 (80000 + 9 𝑑))   ←   (90000 = 45 𝑑 = => 2000 = 𝑑).

عدد الأطباق الممكنة هو = (4 × 5 × 6 = 120).

أي عدد فردي أقوم بتربيعه يعطيني عدد فردي أيضًا (3 × 3 = 9)، فردي + فردي = زوجي إذن الخيار الأول صحيح، ليس بالضرورة أن يقسم مجموع عددين فرديين على (4)، (1 + 1 = 2) إذن الخيار (ب) خاطئ، ²(1 + 1) = (4)، الخيار الثالث بالتجريب صحيح ويقبل القسمة على (4). 

نبدأ من نقطة الأصل (5 , 1-) ونلاحظ التغير الذي أصبحت عليه، (- 1) أصبحت (5) يعني زادت (6) وحدات جهة اليمين، (5) أصبحت (- 3) يعني نقصت (8) وحدات للأسفل.

(𝞹) لو جمعت أو طرحت أو قسمت أو ضربت معها أي عدد فهو ينتمي لمجموعة الأعداد الغير نسبية والتي تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية (R).

استبعد من الخيارات الأعداد الغير مربعة وهما الخياران (ب و ج) بدون حل ممكن أخمن أن الإجابة هي (أ) لأنه يرغب في أكبر مساحة، أحلل العددين (380 ، 240) للحصول على قاسم مشترك بينهما = 20 إذن للحصول على اكبر مساحة (20 × 20 = 400).

الرسم يكون دالة: إذا رسمنا خط عمودي على الرسم ومرت به نقطة واحدة، الرسم يكون أحادي: إذا رسما خط أفقي ومرت به نقطة عند رسم خط عمودي على جميع الرسومات نلاحظ أنها جميعا دوال عدا الثانية، لو رسمنا خط أفقي على الرسومات المتبقية نلاحظ أن الرسمة الأخيرة فقط هي من حققت الشرط ومر بالخط الأفقي نقطة واحدة.

قانون مفكوك ذات الحدين:

عدد الأضلاع للمضلع المنتظم: n = (360 / 180 - θ) = (360 / 180 -135) = (³⁶⁰⁄₄₅) = (8).

(-3 , 2)   ←   (2 – 3 , -3 + 4)   ←   (1 , 1-).

(³⁄₂ = 1.5)   ←   ( ³⁄₂/ k) = (k × ⅔) = (k⅔).

50√ هو من الجذور الصماء التي ليس لها جذر إذا هو من مجموعة الأعداد الغير نسبية (I).

عندما يطلب مني أن أجد المسافة بين (5 و 2) نجد القيمة المطلقة بين (5) و (2) هي 3 = |2 - 5|داخل القيمة المطلقة عملية الطرح تكون إبدالية حيث أن |x - 2| كلمة تبعد في السؤال تعني مسافة، مجموعة الأعداد: هي أعداد مجهولة بالنسبة لي أعبر عنها بالمتغير (x) مثلا، معناها أن أريد إيجاد المسافة بين (x) و (3) التي أقل من (5) معناها: 5 > |3 - x|.

كلا من البسط والمقام في المقدار: (6ba⁵ / 2a² b²) عبارة عن واحدة حد، إذا بإمكاني أختصر البسط مع المقام أو نلاحظ أن تبسيط الأعداد (⅓) = (²⁄₆) و ب هو الحل الوحيد.

العدد يقبل القسمة على (6) عندما يقبل العدد القسمة على كل من 2 و 3 يعني آحاده زوجي حتى يقبل على 2 أولا، ومجموع أرقامه من مضاعفات العدد 3.
نلاحظ أن الإجابة (ب و د) خاطئتان لأنهما آحادهما زوجي لا يقبل القسمة على 2.
نبحث في الإجابة (أ) إذا كان العدد (9996) من مضاعفات العدد 3 أم لا ؟
نعم حيث أن مجموع أرقامه = 33 وهو يقبل القسم على 3 ومن مضاعفاته.

أي سؤال يطلب فيه المتوسط أقوم بإيجاد المجموع، وعليه بما أن المتوسط = (20) أقوم بضربه مع عدد القيم لإيجاد المجموع إذن (4 × 20 = 80) المجموغ لثلاث قيم متوسطهم (15) هو (3 × 15 = 45) إذن العدد الذي تم استبعاده هو حاصل الفرق بين المجموعين (80 – 45 = 35).

النقطة (A) عبارة عن الزوج المرتب(5 , 1)، (x , y) بالانعكاس حول محور (x) تصبح (x , -y).

نحصل على المدى من الرقم الذي خارج الدالة، إذا لم يكن هناك رقم خارج الدالة إذا المدى يبدأ من الصفر، إذن في السؤال المدى يبدأ من (3) ولا ينتهي، بداية المدى مغلق دائما.

الشرط الأساسي في الجذر أن يكون ما داخله ≥ 0 يجب إيجاد أصفار البسط والمقام، صفر البسط (x = 4) المقام مستحيل يكون دائما موجب إذا مجاله (R) تقاطع مجال البسط مع المقام يكون (x ≥ 4). 

قانون حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة (مساحة الدائرة) × الارتفاع = ( hr² 𝜋)، عدد الإسطوانات الصغيرة = (حجم الاسطوانة الكبيرة/حجم الاسطوانة الصغيرة) 27 = (6 (3²) 𝜋) / (2 (1²) 𝜋)، نصف قطر الكبيرة (3) والصغيرة (1).

بما أن المثلث جميع زواياه متساوية إذا فهو مثلث متساوي الأضلاع جميع أضلاعه = (2) وبما أن القطر يقسم المتوازي إلى مثلثين متطابقين، فذلك ينطبق أيضا على المثلث الآخر، فيصبح مجموع أطوال أضلاع المتوازي (2 + 2 + 2 + 2 = 8).

(× / 6 + 147) = (× / 12 + 150) نضرب المعادلة ب (12)   ←   (×2 + 1764 = × + 1800) = (x = 36).

في قاعدة الدوران بزاوية (°90) نبدل الأماكن ثم نقوم بتغيير إشارة (x) فتصبح النقطة (3 , 5-).

العدد في صورة بسط على مقام بحيث أنها أعداد صحيحة يكون نسبي: (⁴⁄₉) و (2) = (2√/ 2√2) = (2√ / 8√) و (⅔) أعداد نسبية، (2√/ 4) ال (2) ليس لها جذر إذا فهو عدد غير نسبي.

دالة كسرية البسط فيها دالة (ln) يجب أن يكون أكبر من صفر (lnx > 0  →  X > 0) المقام دالة جذرية يجب أن يكون ما تحتها أيضا أكبر من صفر (5 > ×  →  0 < ×– 5).

المجموع = المتوسط × عددهم = (4 × 4 = 160)، عند إضافة (8) درجات لأحد الاختبارت يصبح المجموع = (8 + 160) = (168)، المتوسط الحسابي الجديد = (¹⁶⁸⁄₄) = (42).

أسهل طريقة للحل هو التعويض في النقطة في المستقيمات، النقطة التي تحقق المستقيم هي الحل، نلاحظ أننا لو عوضنا في المستقيم الأخير فإن النقطة تحققه (2 × 2 – (1-) × 3) = (7-).

الفكرة في السؤال أن أقسم السؤال إلى جزئين: (1 - ×2 < 1)   ←   (2 > 2x)   ←   (1 > x) , (× < 1 - ×2)   ←   (x > 1) نلاحظ أنه لا يوجد عناصر مشتركة بين الفترتين إذا لا يوجد تقاطع.

لإيجاد جذور المعادلة التربيعية نستخدم القانون التالي:

أسهل طريقة لحل السؤال هي بالتجريب في الخيارات:

معنى (60km/h) كل ساعة (60كيلو متر)، يعني خلال ساعتين تصبح السرعة (120) بما أن المسافة بين الاتجاه الشمالي مع الاتجاه الشرقي كونت مثلث قائم الزاوية، إذن يوجد لدينا ثلاثيات فيثاغورس مثل: (3 و 4 و 5) مع جميع مضاعفاتهم مثل (6 و 8 و 10) ونستنتج أن (60 و 80 و 100) هي من مضاعفات هذه الثلاثيات إذن المسافة كل ساعة تكون، (100) و خلال ساعتين تكون(200).

.𝑦 = 2 + ½ (𝑥 + 15)   →  2 + ½ (3 + 15)   →  2 + ½ (18)   →  2 + 9 = 11

مثال/ لو صرفت 10 ريال، وتبقى معي 5 ريال، فكم كان معي؟ أجمع ما صرفته مع ما تبقى (5 + 10) فيكون معي 15 ريال، نفس الشيء لو صرفت 150 ريال، وتبقى معي، (x - 1) يكون معي:
 (x - 1 + 150 = x + 149)، ملاحظة/ في حالة الجمع في الإشارات المختلفة نطرح ونضع إشارة الكبير أي (149 = 150 + 1-).

احتمال ظهور الصورة = ½   ←     احتمال ظهور أربع الصورة = ½ × ½ × ½ × ½ = ¹⁄₁₆.

بما أن الوترين متطابقان إذا الأقواس المقابلة لهما ستكون متطابقة أيضًا
5𝑥 = 105 → 𝑥 = 21

الحل الوحيد يعني المميز = صفر، (𝒂𝒙² − 𝟏𝟐𝒙 = −𝟗 → 𝒂𝒙² − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟎)   ←   (𝒂 = 𝒂 , 𝒃 = −𝟏𝟐 , 𝒄 = 𝟗).
(𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 → 𝟏𝟒𝟒 − 𝟒 × 𝟗 × 𝒂 = 𝟎)   ←   (𝟏𝟒𝟒 = 𝟒 × 𝟗 × 𝒂  →  𝒂 = 𝟒).

دائما في الأسئلة الاحتمالات أقوم بتلوين كلمة احتمال باللون الأصفر، حيث ما قبل كلمة احتمال يمثل الكل، وما بعدها يمثل الجزء.
الاحتمال = الجزء/الكل   ←   الاحتمال = طلاب الصف الأول/طلاب معمل العلوم   ←     الاحتمال = ¹⁰⁄₁₇.

قاعدة: ( عدد العناصر k = 4) عدد المجموعات الجزئية هو  (2⁴ = 16) سؤال يحل على القاعدة بالنظر مباشرة.

بما أن (x < 0) أي قيمة سالبة   ←   قيمة (x y > 0) موجبة فتكون قيمة   ←   (y < 0) سالبة وهذا يكون بالربع الثالث.